Роден на 4 май 1981 г. в София. Първите си си стъпки в бокса прави в залата на Локомотив, но поради лошите условия започва боксовата си кариера на 13 години в школата на ЦСКА. Преди да започне да тренира бокс е тренирал 1 година футбол. Състезава се в категорията на най-тежките – над 91 кг. Пулев е избран за спортист на февруари 2008 г. Брат на Тервел Пулев, също известен боксьор.

През 1998 г. е привлечен в националния отбор на България, след като зад гърба си вече има много отличия от детски и юношески състезания. През 2002 г. Кубрат печели първото си голямо отличие – купа „Странджа“. През 2005 завоюва бронзов медал на световното първенство в Китай, а през 2006 – и на европейското в Пловдив. Участва и на Летните олимпийски игри в Пекин през 2008 г. и няколко месеца след това става европейски шампион в Ливърпул в категория над 91 кг.

Носител на Интернационалната титла на IBF в тежка категория, след победа над Травис Уолкър с единодушно съдийско решение, през 2011 година. На 5 май 2012 г. става европейски шампион в тежка категория в мач с Александър Димитренко – спаринг партньор на братята Кличко. От 2009 г. е в професионалния бокс и постига успехи само за две години и половина. Понастоящем Кубрат Пулев тежи 112 кг и е висок 194 см. През 2012 г. печели европейската титла на Европейския боксов съюз в тежка категория. На 29 септември в Хамбург Пулев се изправя срещу руския боксьор Александър Устинов и защитава двете си титли, като побеждава Устинов (202 см, 136 кг) в тежък двубой. Пулев нокаутира руснака в 11-тия рунд. Спортист на годината на България за 2012 г. Мъж на годината за 2013 г. На 14 декември 2013 г. Кобрата побеждава американеца Джоуи Ейбъл чрез технически нокаут в мач за защита на интернационалната си титла на Международната боксова федерация. На 15 ноември 2014 г. в мач за световната титла в Хамбург, Германия, Кобрата допуска първата загуба в кариерата си на професионален боксьор като е нокаутиран в 5-ят рунд от световният шампион Владимир Кличко.